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　　哈希表是一种数据结构，用于将键映射到值（也称为表或映射抽象数据类型/ADT）。它使用一个将大的或甚至非整数键映射到一个小的整数索引范围（通常是[0..hash_table_size-1]）。在这个可视化中将会强调几种碰撞解决策略：开放寻址（线性探测，二次探测，和双重哈希）和闭散列（分离链接）。尝试点击

　　散列是一种算法（通过散列函数），将大型可变长度数据集（称为键，不一定是整数）映射为固定长度的较小整数数据集。哈希表是一种数据结构，它使用哈希函数有效地将键映射到值（表或地图ADT），以便进行高效的搜索/检索，插入和/或删除。

　　，数据库索引，缓存和集合。在这个电子讲座中，我们将深入讨论表ADT，哈希表

　　删除（v） - 从ADT中删除v。哈希表是这个表ADT的一个可能的好实现（另一个是这个）。

　　当整数键的范围很小时，例如 [0..M-1]，我们可以使用大小为M的初始空（Boolean

　　插入（v）：将A [v]设置为true（填充），移除（v）：将A [v]设置为false（空白）。

　　截至2023年4月），公交路线]之间的整数都在当前使用，例如，没有989号公交路线)应返回false。可能会引入新的公交路线x

　　，即Remove(y)。由于可能的公交路线范围小，为了记录公交路线号码是否存在的数据，我们可以使用一个大小为1000的布尔数组的DAT（通常，最好在当前最大的公交车号991之上再多给几个缓冲单元格）。

　　。 如果我们有（非常）大范围的话，内存使用量会（非常的）大。键必须密集，即键值中没有太多空白。 否则DAT将包含太多的空的（浪费的）单元。我们将用哈希来克服这些限制。

　　N= 400个新加坡电话号码（新加坡电线位数字，所以新加坡最多有10^8 = 1亿个可能的电话号码）。我们可以使用以下简单的哈希函数h(v) = v%997，而不是使用DAT并使用一个最大为M= 1亿的巨大数组。

　　使用散列，我们现在可以使用整数数组（而不是布尔数组）执行下面的表ADT操作，如下所示：

　　A [h（v）]！= -1（假设v≥0，我们对空单元使用-1）插入（v）：设置

　　v散列到h（v）中，所以我们需要以某种方式记录键v），删除（v）：设置A [h（v）] = -1--- 将进一步阐述。

　　如果我们有映射到卫星数据的键，并且我们也想记录原始键，我们可以使用如下一对（整数，卫星数据类型）数组实现哈希表：搜索（v）：返回

　　不同的键（整数或不是）映射到同一个整数槽中，即多对一映射而不是一对一映射。例如，早些时候

　　Reveal这个答案对我们中的一些人来说可能令人惊讶。我们来做一些计算吧。

　　即第一人的生日可以是365天中的任何一天，第二人的生日可以是除第一人的生日之外的任何365天，等等。设P（n）

　　问题1：我们已经看到了一个简单的散列函数，如电话号码示例中使用的h（v）= v％997，它将大范围的整数键映射到整数键的较小范围内，但非整数键的情况如何？ 如何有效地做这样的散列？问题2：我们已经看到，通过将大范围散列或映射到更小范围，很可能会发生碰撞。 如何处理它们？

　　如何用这些理想的属性创建一个好的散列函数？

　　映射，即根本不存在冲突。 如果事先知道所有的键是可能的。 例如，编译器/解释器搜索保留关键字。 但是，这种情况很少见。

　　当表格大小与提供的关键字数量相同时，实现最小的完美散列函数。 这种情况更为罕见。

　　，这是一个用C++编写的免费可用的完美哈希函数生成器，可以从用户提供的关键字列表中自动构建完美的函数（C++程序）。

　　人们已经尝试过各种方法，尽可能均匀地将大范围的整数散列到更小范围的整数中。 在这个电子讲座中，我们直接跳到最好的和最受欢迎的版本之一：

　　个插槽的哈希表中。 （％）是一个模运算符，给出了除法后的余数。 这显然很快，即O（1）假设v不超过自然整数数据类型限制。

　　被设置为不接近2的幂的相当大的素数，大约比将在哈希表中使用的期望的键的数量N大2倍以上。 这样，负载因子α= N / M 0.5

　　稍后我们将看到具有低负载因子，从而牺牲空闲空间，有助于提高哈希表性能。

　　讨论：如果我们将M设置为10（十进制）的幂或2（幂的二进制），那该怎么办？

　　.讨论：在实际课堂中，讨论上述哈希函数的组成部分，例如，为什么要遍历所有字符？，这会比 O(1

　　，那么它们都将被添加到双向链表i的（前/后）（在这个可视化中，我们在O(1)的帮助下添加到尾部）。就是这样，键将入的位置完全取决于哈希函数本身，因此我们也称分离链接为封闭地址冲突解决技术。

　　如果我们使用分离链接，负载因子α =N/M是M个列表的平均长度（不像在开放寻址中，α可以是稍微超过1.0），并且它将决定Search(v)的性能，因为我们可能需要平均探索α个元素。由于Remove(v)也需要Search(v)，所以它的性能与Search(v)相似。Insert(v)显然是O(

　　如果我们可以将α限制为一个小常数（如果我们知道我们的哈希表应用中预期的最大

　　在这个可视化中，我们讨论了三种开放寻址 (OA) 冲突解决技术：线性探测 (LP)，二次探测 (QP) 和双重哈希 (DH)。要在这三种模式之间切换，请点击相应的标题。设：M

　　所有三种 OA 技术都要求负载因子 α =N/M 1.0 (否则无法进行更多的插入)。如果我们可以将 α 限制在一个小的常数 (如果我们知道我们的哈希表应用中预期的最大N，以便我们可以相应地设置M，最好 0.5 对于大多数 OA 变体)，那么所有使用开放寻址的 Search(v)，Insert(v) 和 Remove(v) 操作都将是 O(

　　i的键，顺序是任意的（在0.5x的比例下，顶点标签显示在较小的黑点上方）。从数学上讲，所有可以表示为i

　　) 的键 — 包括所有i的重复项 — 都被哈希到 DLLi。再次强调，我们在这个可视化中不存储任何卫星数据。

　　在这个可视化中，我们讨论了三种开放寻址冲突解决技术：线性探测 (LP)，二次探测 (QP) 和双重哈希 (DH)。

　　对于所有三种技术，每个哈希表单元格都显示为一个顶点，单元格值 [0..99] 显示为顶点标签（在 0.5x 缩放中，顶点标签显示在较小的黑点上方）。在不失一般性的情况下，我们在这个可视化中不显示任何卫星数据，因为我们只关注键的排列。我们保留值 -1 来表示一个 空单元格（可视化为一个空白顶点）和 -2 来表示一个 已删除单元格（可视化为一个带有缩写标签 DEL 的顶点）。范围从 [0..

　　-1] 的单元格索引显示为每个顶点下方的红色标签（在 1.0x 缩放中为 15 行索引，或在 0.5x 缩放中为 25 行索引）。

　　尝试Insert([9,16,23,30,37,44])，看看如果我们使用分离链接作为冲突解决技术，Insert(v) 操作是如何工作的。在这样的随机插入中，性能是好的，每次插入明显是 O(1)。

　　α很大，分离链接的性能实际上并不是 O(1)。然而，如果我们大致知道我们的应用程序可能会使用的最大键值数量N

　　下一个空/被删除的插槽（当我们到达最后一个插槽时再重新环绕）。例如，我们假设我们以表格大小M = HT.length = 7的空的散列表HT开始，如上所示，使用索引0到

　　h（v）= v％M。此演练将向您展示使用线性探测作为冲突解决技术时Insert（v），Search（v）和Remove（v）操作所采取的步骤。

　　提示：要快速计算一个（小）整数V对M的模，我们只需将V减去最大的M的倍数≤V，例如，18%7 = 18-14 = 4，因为14是 ≤ 18 的7的最大倍数。

　　现在点击Insert([1,35])（在上一张幻灯片中插入的前三个值的顶部）。回顾（在点击上面的按钮后显示）现在我们说明使用线性探测作为碰撞解析技术的Search（v）操作。 所采取的步骤与 Insert（v）操作非常相似，即我们从（主）散列键值开始，检查是否已找到v，否则我们一次向前移动一个索引（如果遇到结尾则从开头重新开始）并重新检查。 当我们遇到一个空单元时，我们就停止，这意味着v完全不在哈希表中（因为之前的Insert（v）操作会将v放在那里）。

　　提示：查看以前的三张幻灯片，了解插入（v）和搜索（v）的行为。

　　现在让我们看看完整的删除（v）。 如果我们在索引i处找到v（必要时在线性探测之后），我们必须设置HT [i] = DELETED（在此可视化中缩写为DEL），其中DEL是一个特殊符号（通常你只能在你的应用程序种没有使用过的使用一个特殊符号）指示该单元格可以在将来的搜索（v）需要时绕过，但可以被将来的插入（w）覆盖。 这种策略被称为懒惰删除。现在点击Remove(21)- [0,1（找到关键21，我们设置H [1] = DEL）]。然后请继续讨论下一张幻灯片。

　　我们定义一个簇为一组连续的占用槽。覆盖键的基地址的簇被称为键的主簇。现在注意到线性探测可以创建大的主簇，这将使Search(v)/Insert(v)/Remove(v)操作的运行时间超过宣传的O(1)。

　　在 Insert(v) 过程中，如果有冲突但哈希表中仍有空（或 DEL）槽位，我们可以确保在最多M步线性探测后找到它，即在 O(

　　v的主簇将因此扩展，未来的哈希表操作也会变慢。尝试在与上一张幻灯片相同的哈希表上使用慢速Search(31)，但有许多 DEL 标记（假设 {4, 5, 8, 9, 10, 12, 14} 刚刚被删除）。

　　在屏幕上，看到M= 31，插入了15个在 [0..99] 之间的随机整数（有几个随机但短的主要聚类）。如果我们接着插入这4个键 {2, 9, 12, 1}，前三个键将“插入”三个空单元格，并意外地合并那些相邻的（但以前是分离的）聚类成为一个（非常）长的主要聚类。因此，下一个插入键1的操作将在这个长的主要聚类的开始处进行，最终需要进行几乎 O(M) 的探测步骤才能找到一个空单元格。尝试

　　为了减少主聚类，我们可以将探针序列修改为：h（v）//基地址（h（v）+ 1 *1

　　就是这样，探针按照二次方跳转，根据需要环绕哈希表。由于这是一种不同的二次探测，所以一个非常常见的错误就是：做H（V），（H（v）的1）％M，（H（v）的+ 1 + 4）％M，（H（V）+ 1 + 4 + 9）％M，...

　　删除（x）和搜索（y）操作的定义类似。 只是这次我们使用二次探测而不是线性探测。例如，假设我们在上一张幻灯片之后调用了Remove（18），并且标记了HT [4] = DEL。 如果我们调用Search(38)

　　，我们将使用与上一张幻灯片相同的二次探测序列，但是会通过标记为DELETED的HT [4]。

　　Quadratic Probing）能够快速解决我们之前对线性探测的主要聚类问题，但它是完美的碰撞解决技术吗？尝试Insert([12,17])。你意识到刚刚发生了什么吗？

　　我们可以很容易地插入12，因为h（12）= 12％7 = 5 以前是空的（见上文）。但是，即使我们仍然有3个空槽，我们仍然存在主要问题：h（17）= 17％7 = 3已被键10占用，（3 + 1 * 1）％7 = 4已被占用 （3 + 2 * 2）％7 = 0已被键38占用，（3 + 3 * 3）％7 = 5已被键12占用，（3 + 4 * 4）％7 = 5 （3 + 5 * 5）％7 = 0再次被键38占据，（3 + 6 * 6）％7 = 4又被键18占据，（3 + 7 * 7）％7 = 3再次被键10占用，如果我们继续二次探测，它将永远循环...尽管我们仍然有几个（3）空单元格，但我们无法将此新值17插入到哈希表中。

　　如果 α 0.5 并且M是一个质数（ 3），那么我们总是可以使用（这种形式的）二次探测找到一个空的插槽。回忆：α 是负载因子，M是哈希表的大小（HT.length）。如果满足上述两个要求，我们可以证明，包括基地址

　　但是超过这个范围就不能保证了。因此，如果我们想使用二次探测，我们需要确保 α 0.5（在这个可视化中没有强制执行，但我们在M步后会中断循环以防止无限循环）。

　　, 那么（x-y）不能为0. 由于0≤ xy≤（m 2）且m是大于3的素数（奇数整数），所以（x= += y）也不能为为0模m

　　因此，第一个M / 2二次探测步骤不能产生相同的地址模M（如果我们将M设置为大于3的质数）。

　　在二次探测中，集群是沿着探测路径形成的，而不是像线性探测那样围绕基地址形成的。这些集群被称为次级集群，与困扰线性探测的主要集群相比，它们“不那么明显”。次级集群是由于碰撞键使用相同的探测模式而形成的，即，如果两个不同的键有相同的基地址，那么它们的二次探测序列将会是相同的。为了说明这一点，看看屏幕上M

　　= 31。我们只用10个键填充了这个哈希表（所以负载因子 α = 10/31 ≤ 0.5），哈希表看起来“稀疏足够”（没有明显的大的主要集群）。然而，如果我们接着插入Insert(62,93)，尽管有很多（31-10 = 21）空单元格和62 != 93（最终散列到索引0的不同键），我们最终在这个“不那么明显”的次要聚集中进行了10次探测步骤（注意，{62, 93}都遵循类似的二次探测序列）。

　　二次探测中的次级集群并不像线性探测中的主要集群那么糟糕，因为一个好的哈希函数理论上应该将键分散到不同的基地址∈ [0..M-1]中。

　　如果h2（v）= 1，则双散列（Double Hashing）的工作方式与线性探测（Linear Probing）完全相同。 所以我们通常希望h2（v） 1来避免主聚类。

　　如果h2（v）= 0，那么Double Hashing不起作用的原因很明显，因为任何探测步数乘以0仍然是0，即我们在碰撞期间永远停留在基地址我们需要避免这种情况。

　　通常（对于整数键），h2（v）= M - v％M其中M是一个小于M的质数。这使得h2（v）∈[1..M]，它足够多样 二次聚类。

　　插入35，然后插入42到上面的当前哈希表。回顾（点击上面的按钮后显示）。

　　删除（x）和搜索（y）操作的定义类似。 只是这次我们使用双散列（Double Hashing）而不是线性探测或二次探测。

　　例如，假设我们在上一张幻灯片之后调用了Remove（17），并且标记了HT [3] = DEL。 如果我们调用Search(35)，我们将使用与前一张幻灯片相同的双哈希序列，但是会通过标记为DELETED的HT [3]。

　　当负载因子α变高时，哈希表的性能会降低。 对于（标准）二次探测冲突解决方法，当哈希表的α 0.5时，插入可能失败。

　　一个经验法则是，如果使用开放寻址，并且当α小的常数（根据需要接近1.0），如果使用单独链接，当α≥0.5时重新散列。

　　Kattis - cd（输入已经被排序，因此存在替代的非哈希表解决方案; 如果未对输入进行排序，则在哈希表的帮助下最好解决此组交集问题），

　　VisuAlgo最初由副教授Steven Halim于2011年构思，旨在通过提供自学、互动式学习平台，帮助学生更深入地理解数据结构和算法。

　　VisuAlgo涵盖了Steven Halim博士与Felix Halim博士、Suhendry Effendy博士合著的书《竞技编程》中讨论的许多高级算法。即使过去十年，VisuAlgo仍然是可视化和动画化这些复杂算法的独家平台。

　　虽然VisuAlgo主要面向新加坡国立大学（NUS）的学生，包括各种数据结构和算法课程（例如CS1010/等价课程，CS2040/等价课程（包括IT5003），CS3230，CS3233和CS4234），但它也是全球好奇心的宝贵资源，促进在线学习。

　　最初，VisuAlgo并不适用于智能手机等小触摸屏，因为复杂的算法可视化需要大量的像素空间和点击拖动交互。为了获得最佳用户体验，建议使用最低分辨率为1366x768的屏幕。然而，自2022年4月以来，VisuAlgo的移动（精简）版本已经推出，使得在智能手机屏幕上使用VisuAlgo的部分功能成为可能。

　　VisuAlgo仍然在不断发展中，正在开发更复杂的可视化。目前，该平台拥有24个可视化模块。

　　VisuAlgo配备了内置的问题生成器和答案验证器，其“在线测验系统”使学生能够测试他们对基本数据结构和算法的理解。问题根据特定规则随机生成，并且学生提交答案后会自动得到评分。随着越来越多的计算机科学教师在全球范围内采用这种在线测验系统，它可以有效地消除许多大学标准计算机科学考试中手工基本数据结构和算法问题。通过给通过在线测验的学生分配一个小但非零的权重，计算机科学教师可以显著提高学生对这些基本概念的掌握程度，因为他们可以在参加在线测验之前立即验证几乎无限数量的练习题。每个VisuAlgo可视化模块现在都包含自己的在线测验组件。

　　NUS教学与学习发展中心（CDTL）授予拨款以启动这个项目。在2023/24学年，Optiver的慷慨捐赠将被用来进一步开发 VisuAlgo。

　　VisuAlgo慷慨地向全球计算机科学界提供免费服务。如果您喜欢VisuAlgo，我们恳请您向其他计算机科学学生和教师宣传它的存在

　　。您可以通过社交媒体平台（如Facebook、YouTube、Instagram、TikTok、Twitter等）、课程网页、博客评论、电子邮件等方式分享VisuAlgo。数据结构与算法（DSA）的学生和教师可以直接在课堂上使用本网站。如果您从本网站截取屏幕截图或视频，可以在其他地方使用，但请引用本网站的URL（）和/或下面的出版物列表作为参考。但请不要下载VisuAlgo的客户端文件并将其托管在您的网站上，因为这构成了抄袭行为。目前，我们不允许他人分叉此项目或创建VisuAlgo的变体。个人使用离线副本的客户端VisuAlgo是可以接受的。

　　这项工作曾在2012年国际大学生程序设计竞赛（波兰，华沙）的CLI研讨会上和2012年国际信息学奥林匹克竞赛（意大利，锡尔米奥内-蒙蒂基亚里）的IOI会议上展示过。您可以点击此链接阅读我们2012年关于该系统的论文（当时还没有称为VisuAlgo），以及此链接阅读2015年的简短更新（将VisuAlgo与之前的项目关联起来）。

　　VisuAlgo并不是一个完成的项目。Steven Halim副教授仍在积极改进VisuAlgo。如果您在使用VisuAlgo时发现任何可视化页面/在线测验工具中的错误，或者您想要请求新功能，请联系Steven Halim副教授。他的联系方式是将他的名字连接起来，然后加上gmail dot com。

　　自2023年8月18日（星期五）起，我们不再使用 Google Analytics。因此，我们现在使用的所有 cookies 仅用于此网站的运营。即使是首次访问的用户，烦人的 cookie 同意弹窗现在也已关闭。

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